Terza legge di Keplero, una dimostrazione esoterica.
Una bellissima dimostrazione della terza legge di Keplero, dal sapore esoterico tipico dei volumi del Corso di Fisica Teorica di Landau-Lifschitz.
Si vogliono investigare le energie potenziali che siano omogenee di grado p, ovvero tali che U(ax) = a^p U(x).
Infatti se trasformiamo il nostro spazio in modo da espandere le distanze di un fattore a e tutti i tempi di un fattore b, allora le velocità cambieranno di un fattore a/b, e l'energia cinetica di un fattore (a/b)^2.
Allora, facendo in modo che i fattori che moltiplicano T e U siano gli stessi, abbiamo che la lagrangiana del sistema è stata moltiplicata per la costante a^p, e questo non cambia le equazioni del moto. Possiamo chiaramente ottenere ciò che vogliamo scegliendo:
Con questo parametro ritorniamo alle nostre trasformazioni iniziali e leggiamo subito
e basta solo notare che l'energia potenziale gravitazionale è proporzionale a 1/r (e quindi è omogenea di grado p=-1) per concludere che i periodi stanno nel seguente rapporto con i semiassi maggiori delle orbite
“Res est certissima et exactissima, quod proportio quae est inter binorum quorumcumque Planetarum tempora periodica, sit praecise sesquialtera proportionis mediarumdistantiarum ”
- J. Kepler, Harmonices Mundi (1619), libro 5, capitolo 3.
Si vogliono investigare le energie potenziali che siano omogenee di grado p, ovvero tali che U(ax) = a^p U(x).
Infatti se trasformiamo il nostro spazio in modo da espandere le distanze di un fattore a e tutti i tempi di un fattore b, allora le velocità cambieranno di un fattore a/b, e l'energia cinetica di un fattore (a/b)^2.
O, come diceva Keplero:
- J. Kepler, Harmonices Mundi (1619), libro 5, capitolo 3.
Matthaeus scripsit, 6/26/2009 11:35:00 em
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