Terza legge di Keplero, una dimostrazione esoterica.

Una bellissima dimostrazione della terza legge di Keplero, dal sapore esoterico tipico dei volumi del Corso di Fisica Teorica di Landau-Lifschitz.

Si vogliono investigare le energie potenziali che siano omogenee di grado p, ovvero tali che U(ax) = a^p U(x).
Infatti se trasformiamo il nostro spazio in modo da espandere le distanze di un fattore a e tutti i tempi di un fattore b, allora le velocità cambieranno di un fattore a/b, e l'energia cinetica di un fattore (a/b)^2.

Allora, facendo in modo che i fattori che moltiplicano T e U siano gli stessi, abbiamo che la lagrangiana del sistema è stata moltiplicata per la costante a^p, e questo non cambia le equazioni del moto. Possiamo chiaramente ottenere ciò che vogliamo scegliendo:

Con questo parametro ritorniamo alle nostre trasformazioni iniziali e leggiamo subito

e basta solo notare che l'energia potenziale gravitazionale è proporzionale a 1/r (e quindi è omogenea di grado p=-1) per concludere che i periodi stanno nel seguente rapporto con i semiassi maggiori delle orbite

O, come diceva Keplero:

“Res est certissima et exactissima, quod proportio quae est inter binorum quorumcumque Planetarum tempora periodica, sit praecise sesquialtera proportionis mediarumdistantiarum ”
- J. Kepler, Harmonices Mundi (1619), libro 5, capitolo 3.